Мы переехали!
Ищите наши новые материалы на SvobodaNews.ru.
Здесь хранятся только наши архивы (материалы, опубликованные до 16 января 2006 года)
  |
          |
|
23.12.2024
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
[13-01-04]
Триединый нульАвторы: Александр Костинский и Владимир Губайловский В 1946 году выдающийся американский ученый-статистик Джон Тьюки предложил название БИТ (BIT - аббревиатура от BInary digiT: буквально: двоичная цифра), это - одно из главных понятий XX века. Тьюки избрал бит для обозначения одного двоичного разряда, способного принимать значение 0 или 1. Клод Шеннон предложил использовать бит как единицу измерения информации. Несколько десятилетий спустя мир уже воспринимается нами как информационный континуум. Мир информации - это мир состоящий из нулей и единиц. Как конкретно выражены 1 или 0 на физическом уровне уже не очень важно. Это может быть намагниченное (или размагниченное) ферритовое колечко, заряженный (или разряженный) конденсатор, прорезь на перфокарте (или отсутствие этой прорези), направление поляризации света и так далее, и так далее. Но мы представляем 1 и 0 в виде конкретных знаков, которые приняты в большинстве современных языков. Универсальность этих знаков настолько всеобща, что кажется и не может быть никаких других. Давно ли это так? Если происхождение знака 1 - единицы, в общем не вызывает особенных разногласий, то с нулем все совсем не очевидно. Знак единицы происходит вероятно от счета на пальцах. В древнеегипетской нумерации единица обозначается вертикальной палочкой при письме, а при пальцевом счете поднятым вверх большим пальцем левой руки. В жестовом счете живущего сегодня австралийского племени аранта: единица - поднятый вверх указательный палец правой руки. В древнеиндийских обозначениях единица - это палочка, горизонтальная или вертикальная. Если знак единицы мало менялся с течением времени и мало отличался у разных народов в течение тысячелетий, то нуль становился тем, чем он сегодня является, долго и мучительно. И только в новое время нуль был, наконец, окончательно принят математикой в том виде, который он имеет сегодня. Мы поговорим о непростой истории нуля. Необходимо сказать, что существует три разных нуля. Во-первых, это - цифра, которая используется в позиционной системе счисления для обозначения пустого разряда. Во-вторых, это число, но число не обычное. На нуль нельзя делить. Нуль - это мера пустого множества. Абсолютная пустота не имеет аналогов в физическом мире. В-третьих, нуль необходим для замкнутости операций сложения и вычитания. Если нет нуля, то 5 минус 5 не число, а слово. Слово - "ничто". Что же такое позиционная система счисления? Великий французский математик и астроном, работавший на рубеже XVIII - XIX веков Пьер Лаплас писал: "Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой". Любопытно, что Лаплас ничего не говорит о нуле, ограничиваясь только 9 знаками. Десятеричная позиционная система счисления - это в точности та система записи чисел, которой мы чаще всего пользуемся сегодня и для записи чисел, и для расчетов. В ней мы используем 9 разных знаков - цифр, которые обозначают число единиц, десятков, сотен, и так далее. Но если в числе есть только сотни и единицы, например в числе 101, а десятков нет, то мы чтобы быть однозначно понятыми и отличать 101 и от числа 11, используем 0 для обозначение пустого разряда. Нам здесь важно указать на то, что первая цифра обозначает именно сотни, а не десятки. Без того или иного обозначения пустого разряда нам не обойтись в позиционной системе. Если нет позиционного нуля, 11 или 101, или 1001 для нас абсолютно неотличимы. Другая позиционная система счисления, которая активно используется сегодня - это двоичная система, которую впервые исследовал Лейбниц. Она полностью аналогична десятичной, но гораздо проще. В этой системе всего один знак, кроме нуля, этот знак естественно единица. Эта система - просто мечта нерадивого ученика. Таблица умножения в ней простейшая: "0 на 0 будет 0, един на един будет един" - это смог осилить даже Митрофанушка в "Недоросле" Фонвизина, дальше он не продвинулся, но если бы он пользовался двоичной системой ему и этого бы хватило. Правила умножения и деления также предельно простые - ничего не надо запоминать и откладывать. Но у двоичной системы есть и трудно устранимый недостаток - числа в ней записываются очень длинными по сравнению с десятеричной системой последовательностями знаков. Например, число 64 будет 1 и шесть нулей. Однако, простота двоичной системы оказалась важнее, чем громоздкость записи чисел. Когда вычисления производит компьютер он работает всегда в двоичной системе, и если вы набираете десятичные цифры на калькуляторе, это не должно вводить в заблуждение - они будут преобразованы в двоичный вид, после этого над ними будут произведены нужные действия, затем двоичные числа преобразуются опять в десятичные и в окошечке высветится результат в привычной для современного человека десятичной форме. В двоичном счислении роль нуля предельно высока. Фактически двоичная система - это минимальная позиционная система счисления. Оказалось, что мы может опустить вообще все знаки кроме единицы, но без нуля мы никуда не денемся. В непозиционных системах, таких как римская или египетская нумерация, необходимости в позиционном нуле не возникает. Но по мере роста чисел нам все время нужны новые обозначения. Так в римской нумерации для чисел от одного до трех нам хватает одного знака - знака единицы, повторенного один, два или три раза. Для четверки мы используем уже следующий знак и записываем один и пять - то есть пять минус один. Потом мы добавляем знаки для десяти, пятидесяти, ста, тысячи и так далее. Но для обозначения все больших и больших чисел нам приходится изобретать все новые и новые знаки. Мы не сможем, выразить любое число ни девятью, ни каким другим конечным набором знаков. Главный недостаток непозиционных систем счисления - это неудобство и сложность вычислений, особенно умножения и деления. Фактически, ни римская, ни другие непозиционные нумерации не использовалась для реальных сложных вычислений. Для счета применялись разные виды счетных досок и палочек. Счетная доска называлась "абак". Абак очень напоминает обычные счеты, которые еще совсем недавно лежали на каждом прилавке. А ведь расчеты на абаке подобны расчетам в позиционной системе счисления, и потому удобны. Абак - это доска с прорезанными в ней желобами. Чтобы сложить, например, 139 и 344, счётчик сначала обозначает на абаке число 139. Для этого он укладывает на нижнем жёлобе 9 камешков, на следующем - 3 камешка и один камешек кладёт в третий жёлоб. "Камешек" по-латыни calculus; отсюда и произошло название современного электронного счётчика - "калькулятор". Если какого-то разряда в числе нет, то пустует и соответствующий желобок. Это полностью совпадает с современным принципом записи чисел. Дальше счётчик кладёт в последний желобок к имеющимся там 9 камешкам ещё 4, затем снимает оттуда 10 камешков, оставляя лишь 3, и 1 камешек кладёт во второй жёлоб. Потом добавляет ещё 4 камешка (в результате там оказывается 8 камешков) и заканчивает вычисления, добавляя в третий жёлоб 3 камешка. Теперь камешки на доске показывают число 483. Вот этот пустой желобок при расчетах на "абаке" и был первым знаком позиционного нуля. Наиболее древняя из известных нам сегодня позиционных систем счисления со специальным знаком для пустого разряда была развита в Вавилоне. Вавилоняне были семитским народом, который пришел в Междуречье Тигра и Евфрата около 1900 года до нашей эры. Они вытеснили шумерскую цивилизацию и основали свою великую столицу Вавилон. Нам многое известно о вавилонской математике благодаря способу, которым они пользовались для ведения записей - это клинопись. Вавилоняне заимствовали клинопись у шумеров. Запись производилась на необожженных глиняных табличках острым стилом, потом таблички обжигались на жарком солнце. 500 тысяч этих табличек сохранилось, и сотни из них имеют отношение к математике. Вавилоняне использовали позиционную систему счисления очень долго (она была у них шестидесятеричной). И никаких проблем из-за отсутствия специального знака для позиционного нуля, судя по всему, не испытывали - нуль просто заменяли пробелом. Если два вертикальных клина были написаны слитно - это означало число два, а если они были написаны через пробел, то они же обозначали число 61. Поскольку вычисления производились на абаке, никаких разночтений не было. Однако свой "позиционный нуль" вавилоняне никогда не ставили в конце числа. И числа 1 и 60 записывались совершенно одинаково. Но в этих случаях представление масштаба приходило из контекста задачи. Большинство вавилонских текстов представляют собой практические рекомендации - собственно рецепты решения совершенно определенных задач, а условие задачи, как правило, конкретизирует масштаб. Например, если на вопрос о расстоянии от Москвы до Питера вы услышите "700", вероятно, вы догадаетесь, что речь идет о километрах. А если вы покупаете колбасу, то продавец не усомнится что "700" - это вес продукта в граммах. Но в связи с развитием астрономии в таблицах необходимо было записывать абсолютное значение числа и около 400 года до нашей эры вавилоняне стали помещать в эти тексты два небольших клинышка на то место, где прежде использовался только пробел. Два клинышка не были единственным используемым знаком для обозначения позиционного нуля, так на табличке, найденной в Кише, городе к востоку от Вавилона, датируемой приблизительно 700 годом до нашей эры, используются для той же цели три крюка. В других табличках, того же примерно времени, использовался и один крюк. То есть, если все другие цифры имели строго определенное написание, то нуль его не имел. Он был знаком пустого места, и для обозначения пустоты, по мнению вавилонян годился почти любой символ.: Греки начали развивать свои математические теории позднее чем вавилоняне и, безусловно, были хорошо знакомы с результатами и методами вавилонской математики. Но греки не приняли позиционной системы счисления, хотя среди них были исключения. Это - астрономы, и в первую очередь автор "Альмагеста" Клавдий Птолемей. Ему приходилось вести очень тяжелые и точные расчеты. И он воспользовался вавилонской шестидесятеричной системой счисления, но только для дробей. Целая часть числа обозначалась в принятой в греческой математике алфавитной системе, а дроби записывались в шестидесятеричной вавилонской форме. Специалисты по истории математики давно спорят о том, можно ли считать великого астронома Птолемея изобретателем нуля, так как в его текстах при употреблении дробей на месте позиционного пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но позиционного нуля в конце числа у него никогда нет. То есть вероятнее всего, Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне. И хотя, вполне возможно, что индийские математики оттолкнулись от работ греческих астрономов при утверждении современного символа нуля, честь изобретения нуля мы уверенно отдаем индийской математике. Потому что современный нуль - это не только позиционный пробел, но и число. Уже в VII столетии десятичная система, основанная на поместном значении девяти цифр и знаке нуля, была известна индийским математикам. Позиционные записи чисел, именно календарных годичных дат (без знака нуля), встречаются в Индии по крайней мере с VI в. В середине VII в. сведения об индийской нумерации распространяются и на запад. Первое свидетельство о ней мы встречаем у сирийского ученого Севера Себохта, жившего в 662 году в монастыре Кенешре в верхнем течении Евфрата. Полемизируя с людьми, пренебрежительно относящимися к науке других народов, Себохт указывает на "тонкие открытия индийцев в астрономической науке, открытия более остроумные, чем у греков и вавилонян" и "их счисление, которое выше всяких слов", именно то, "которое производится при помощи девяти знаков". Правда, здесь говорится о девяти знаках. Быть может, Себохт знал приемы вычислений с девятью цифрами, в которых отсутствующим разрядам соответствовали пустые места; возможно также, что точку или кружок, изображавшие нуль, он не считал числовым знаком. Первое общепринятое обозначение современного знака нуля встречается на стенной надписи из города Гвалиора в 400 км к югу от Дели и относится к 876 г нашей эры; на этой надписи встречаются числа 270, а также 933 и 187. Все числа обозначены почти современной десятичной нотацией, и символ нуля - это стоит подчеркнуть - стоит в конце числа и выглядит совсем как сегодня, разве что он немного меньше других цифр. Концепция числа нуль оказалась крайне трудной для понимания. Нуль - это число элементов в множестве, в котором нет ни одного элемента. Но тогда и самого множества тоже нет, и непонятно о чем мы вообще говорим. Чтобы развить концепцию числа нуль, нужно было с более общих нематематических и непрактических позиций пережить и увидеть "ничто". И это оказалось под силу только индийской науке. Греческое мировоззрение - пластическое и конечное. Греки, за редчайшим исключением, очень холодно относились к большим числам, к тем числам, которые трудно представить и невозможно увидеть вокруг себя. Если в хозяйстве вавилонских владык были сотни тысяч рабов и крестьян, тысячи километров каналов, предназначенных для искусственного орошения и для движения судов, огромные территории и бесконечные границы, то греки - обитатели небольшого полиса, где на виду каждый человек, и каждый свободный имеет право голоса, не видели смысла в огромных количествах. А для нужд полиса система счисления, построенная на алфавите, вполне годилась. Центром мира для грека было человеческое тело - оно же было самым прекрасным объектом в этом мире. А образом мира или космоса был полис. Греческое мышление было геометрически-предметным, и главным, чему оно служило и что оно исследовало, была совершенная мера. Мера во всем. И единицей этой меры был человек. Поэтому и числа греков - это длины отрезков. Явно сформулировал эти предпочтения греческой философии и математики (которая была разделом философии) Аристотель, жестко прекратив все разговоры о бесконечности, которые начались как обсуждение Зеноновых парадоксов. Мир - конечен и мал, подобен человеческому живому телу, и только такой мир достоин называться космосом - (от космео - красивый). Если природа не терпит пустоты, откуда же в ней возьмется число нуль? Само изображение нуля на каменной табличке в Гвалиоре стало итогом очень длинного развития понятия нулевого числа, позиционного и операционного нуля, которое началось задолго до нашей эры. Значительно повлияли на формирование концепции нуля те формы мышления, которые выработались в более поздних джайнизме и буддизме и главное, это - учение о нирване. Говоря о махаяне - одном из главных направлений буддизма - философ и индолог А. М. Пятигорский пишет: "В основе учения лежит идея о непредставимости истины в категориях бытия или небытия. Вместо этого вводится понятие "шуньяты" или "пустотности", как абсолютного состояния, с точки зрения которого всякая действительность не обладает никакой сущностью, являясь чистой формой или энергией. Эти взгляды оказали влияние на развитие индийской математики (открытие нуля)" (БСЭ) Именно индийские математики изобрели современный нуль во всех его трех ипостасях. Например, в книге Брахмагупты написанной в 7 веке нашей эры уже активно используются отрицательные числа и вводятся операции с нулем. Брахмагупта определяет нуль как результат вычитания числа из самого себя. И формулирует совершенно корректные правила операций сложения и вычитания с нулем и отрицательными числами. При этом отрицательные числа он определяет как "долг". Брахмагупта говорит, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль, и делает отчаянную попытку ввести деление на ноль. Он утверждает: "Нуль, разделенный на нуль есть нуль". Это конечно ошибка, с точки зрения нашей математики, но в этом есть настоящая математическая дерзость, настоящая энергия заблуждения, которая привела индийскую математику к совершенно удивительным открытиям. В частности, Бхаскара второй в книге "Венец науки" ("Сиддханта-сиромани") написанной около 1150 года делает еще одну попытку понять природу деления на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью. Это количество неизменно, даже если многое будет прибавлено или отнято, поскольку нет изменений в бесконечном Боге, ничего не меняется в нем, если миры будут созданы или разрушены, и бесчисленные существа рождены или уничтожены". То есть связь нуля и бесконечности, тоже была осознана индийской математикой.: Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и благодаря двинулась завоевывать Европу. Аль-Хорезми в 9 веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. С начала XII века и в Европе стала распространяться заимствованная у арабов позиционная десятичная система счисления. Однако университетские профессора не проявляли к ней особого интереса, предпочитая излагать пифагорейскую арифметику или правила абака. Считается, что первыми по-настоящему оценили удобство арабской цифири итальянские купцы. Новая нумерация прижилась в купеческой среде Италии и в ремесленных городах Южной Германии на излёте Средневековья, в XIV-XV вв. Коммерсантам богатых торговых стран особенно часто приходилось составлять векселя, сметы, вычислять сложные проценты. Десятичная система окончательно утвердилась в Европе, когда вместо дорогостоящего пергамента (выделанной тонкой кожи) появилась более дешёвая бумага, на которой можно было производить арифметические расчёты. Но даже развитие книгопечатания не смогло полностью вытеснить счёт на абаке. Леонардо Пизанский, или Леонардо Фибоначчи, в своим сочинении "Liber abaci" (1202) выступил убеждённым сторонником новой нумерации: "Девять индусских знаков, - писал он, - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число". Здесь словом zephirum Леонардо передал арабское слово as-sifr, являющееся дословным переводом индусского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. Слово zephirum дало начало французскому слову zero (нуль) и итальянскому слову zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Например, в "Арифметике" Магницкого цифрой называется только нуль. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI в. Только к 1600 году нуль получил широкое распространение в Европе, но все еще сталкивался с сопротивлением. Нуль не был открыт на практике или путем наблюдений. Нуль - это абстрактное понятие очень высокого уровня, обратное математической бесконечности. Современный нуль был изобретен индийской математикой, когда создавались основы арифметики. Без нуля можно обойтись как в практических вычислениях, так и в образовании сверхбольших чисел, хотя с нулем в общем случае удобнее. Нуль - это результат построения выдающейся математической структуры, одно из величайших достижений человечества. Другие передачи месяца:
|
|
|||||||||||||||
|
||||||||
| c 2004 Радио Свобода / Радио Свободная Европа, Инк. Все права защищены
|
